Правила игры
Задача первого урока показать, как из интуитивного понятия “стрелочек” со школы рождается геометрическое понятие вектора
Вспомните, как вам впервые представили вектор. Скорее всего, это был один из двух вариантов:
- Школьный (физический): Вектор — это направленный отрезок, стрелочка, у которой есть длина и направление.
- Университетский (Data Science): Вектор — это упорядоченный набор чисел, строка или столбец матрицы. Например, параметры работника: (35, 12000, 3) (возраст, зарплата, стаж).
Сначала разберёмся, почему их называют одним названием
На первый взгляд кажется очевидным
Раскладываем стрелочку по координатам и получаем те самые числа
Но тут созревает вопрос: “А каких координат”?
Если у нас просто где-то в пространстве летает вектор, то мы оси координат можем как хотим поставить
И от этого будет зависеть, как эта “стрелочка” превратиться в набор чисел
Получается, разным наборам чисел может соответствовать один вектор
Причём эта логика и в обратную сторону действует
Так что же первичней?
Сначала попробуем понять, что общего у этих двух подходов
Первое, что приходит на ум, что и те и другие можно складывать
Набор чисел по членно, стрелочки буквально как стрелочки
Вторым приходит в голову, что оба варианта можно умножать на числа
Есть и более тривиальные (на первый взгляд) свойства
Например, существует нулевой вектор (он интересен тем, что не зависит от поворота системы координат)
Есть противоположный вектор (стрелочку не сложно повернуть в обратную сторону, как и числа на -1 домножить)
Остальные свойства нащупать будет уже сложнее, поэтому, остановимся на этом
Теперь начинается самое интересное
Раз других свойств особо нет, возьмём имеющиеся за определение
Скажем, что всемножества в которых можно складывать элементы, умножать на числа, существует ноль и существует обратный мы будем называть векторными пространствами, а элементы этих множеств векторами
Тут очень важно понять словосочетание “все множества”
Нам буквально неважно, с чем именно мы работаем, главное, чтобы мы могли складывать и умножать на числа
В процессе курса будет понятно, что мы только этим и будем пользоваться
Рассмотрим необычные примеры:
- Непрерывные функции
Если сложить две непрерывные функции или умножить непрерывную функцию на число, то будет всё ещё непрерывная функция
Получается, что это вектора!
- Многочлены
Аналогично предыдущему
Стоит отметить, что это ещё и подпространство предыдущего пространства (то есть, подмножество, которое тоже является пространством)
- Вообще все функции над числами
*Мы не будем перечислять все аксиомы, но будем считать, что сложение и умножение на число подчиняются обычным правилам (как в школе): они дистрибутивны, ассоциативны, коммутативны. Именно эти правила делают геометрию осмысленной. Если они нарушены — наша интуиция про стрелочки перестаёт работать. Но я думаю, что если вы не алгебраист, вам такие тонкости не особо нужны, а если алгебраист, то вы это и так знаете.
Далее на таких тонкостях я останавливаться не буду
При чём тут Data science?
Вроде кажется, что в данные обычно записаны просто числами
Но геометрия данных сильно важнее их численного представления
Вначале урока мы сравнивали стрелочки с набором чисел
Работая с данными мы можем крутить координаты как нам удобно
Числа будут меняться, а геометрия нет
Так же, когда мы рассматриваем скопления каких-нибудь данных или стараемся их кластеризовать
Ведь это тоже не зависит от конкретных введённых координат. Мы можем сжимать и поворачивать пространства, координаты изменяться, а скопления останутся
И свойство сложения и умножения на число тоже важно. Например, слова в языковых моделях хранятся как векторы, которые, в том числе, можно складывать
А умножать на числа приходится вообще постоянно
Зачем нам эта душная математическая абстракция про “любые множества”? Дело в том, что в Data Science векторами могут быть не только строчки из баз данных. Картинка, аудиозапись, текст, сгенерированный ChatGPT,— всё это с точки зрения математики является векторами, потому что мы можем их смешивать (складывать) и масштабировать. Введя один раз строгое понятие векторного пространства, мы получаем суперсилу: все геометрические инструменты (повороты, проекции, расстояния), которые мы разберем дальше, будут одинаково работать как для таблицы стоимости квартир, так и для нейросети, распознающей лица