Внешние степени и вложение Плюккера

Это демонстрационная глава: на ней проверяется, что формулы, выкладки и диаграммы отображаются так, как задумано. Содержание будет заменено на настоящий конспект.

Внешняя степень

Пусть $V$ — векторное пространство над полем $\R$ размерности $n$. Внешняя степень $\Lam^k V$ — это фактор тензорной степени по подпространству, порождённому разложимыми тензорами с повторяющимся сомножителем:

$$\Lam^k V \;=\; V^{\otimes k} \big/ \big\langle\, v_1 \otimes \dots \otimes v_k \;:\; v_i = v_j \text{ при } i \neq j \,\big\rangle .$$

Класс тензора $v_1 \otimes \dots \otimes v_k$ обозначается $v_1 \wedge \dots \wedge v_k$. Основное свойство — кососимметричность:

$$v \wedge w = -\, w \wedge v, \qquad\text{в частности}\qquad v \wedge v = 0 . \tag{1}$$

Если $e_1, \dots, e_n$ — базис $V$, то базисом $\Lam^k V$ служат произведения $e_{i_1} \wedge \dots \wedge e_{i_k}$ по всем строго возрастающим наборам индексов, откуда

$$\dim \Lam^k V = \binom{n}{k} . \tag{2}$$

Разложимые бивекторы

Элемент $\omega \in \Lam^2 V$ называется разложимым, если его можно записать как $\omega = v \wedge w$ для некоторых $v, w \in V$. Уже при $n = 4$ разложимы не все: общий бивектор имеет вид

$$\begin{aligned} \omega &= a_{12}\, e_1 \wedge e_2 + a_{13}\, e_1 \wedge e_3 + a_{14}\, e_1 \wedge e_4 \\ &\quad + a_{23}\, e_2 \wedge e_3 + a_{24}\, e_2 \wedge e_4 + a_{34}\, e_3 \wedge e_4 , \end{aligned}$$

то есть $\dim \Lam^2 \R^4 = 6$, что согласуется с формулой $(2)$.

Критерий разложимости формулируется на удивление компактно:

$$\omega \text{ разложим} \iff \omega \wedge \omega = 0 . \tag{3}$$

Раскрывая $(3)$ в координатах, получаем соотношение Плюккера — одно квадратное уравнение на шесть координат:

$$a_{12} a_{34} - a_{13} a_{24} + a_{14} a_{23} = 0 . \tag{4}$$

Вложение Плюккера

Обозначим через $\Gr(k, n)$ грассманиан — множество $k$-мерных подпространств в $\R^n$. Сопоставим подпространству $W \in \Gr(2, 4)$ с базисом $v_1, v_2$ точку

$$\iota(W) \;=\; [\, v_1 \wedge v_2 \,] \;\in\; \mathbb{P}\big(\Lam^2 \R^4\big) \cong \mathbb{P}^5 .$$

Корректность проверяется прямо: замена базиса $W$ умножает $v_1 \wedge v_2$ на определитель матрицы перехода, то есть на ненулевой скаляр, а точка проективного пространства от этого не меняется.

Из $(3)$ и $(4)$ следует, что образ $\iota$ — в точности квадрика в $\mathbb{P}^5$, заданная соотношением Плюккера. Отсюда сразу видно, что

$$\dim \Gr(2,4) = 5 - 1 = 4 = 2 \cdot (4 - 2),$$

в согласии с общей формулой $\dim \Gr(k,n) = k\,(n-k)$.

Что дальше

В следующей главе — грассманианы произвольной размерности и клеточное разбиение Шуберта.