Сжимаем, крутим, отражаем

Шаг 1

В прошлом уроке мы меняли только точку зрения, но само пространство и все вектора в нём оставались неизменными

Теперь будем делать наоборот: изменять само пространство

Преобразования, с которыми мы будем работать называются линейными(в этой науке очень много что называется линейным)

Нам нужно менять пространство так, чтобы основные свойства сохранялись:

Параллельные прямые оставались параллельными

Отношения отрезков оставались верными: например, если точка была серединой вектора, то так серединой и останется

Начало координат должно оставаться там же, где и было

Сумма и умножение на число сохранялись, то есть, если $\mathcal A(v)$ - преобразование, то:

$\mathcal A(\lambda v + \mu u) = \lambda \mathcal A(v) + \mu \mathcal A(u)$

На самом деле, последнее условие перекрывает все остальные, поэтому оно и является определением линейного преобразования

Простейшая аналогия таких преобразований - резиновый холст, который можно растягивать, сжимать и поворачивать (можно было бы его отражать, было бы вообще идеально)

Классические примеры линейных преобразований:

Поворот
Отражение относительно прямой (проходящей через начало координат)
Растяжение
Сдвиг (на фото представлен он)

Шаг 2

Мы помним, что каждый вектор можно разложить по базису

Благодаря последнему свойству это разложение переносится на изменённое пространство, то есть:

\begin{aligned} x = x^1e_1 + \dots + x^ne_n = \sum^n_{i = 1} x^ie_i \\ \mathcal A(x) = \mathcal A(x^1e_1 + \dots + x^ne_n) = x^1\mathcal A(e_1) + \dots + x^n\mathcal A(e_n) = x^1f_1 + \dots + x^nf_n \end{aligned}

Где $f_i = A(e_i)$

Поэтому, линейные преобразования можно задать на базисных векторах, а на остальных просто продолжить по линейности

Это важно понять. Если мы знаем, куда переместились базисные векторы, мы автоматическизнаем, куда переместилась вся координатная сетка, а значит — и любойвектор на ней.

Это одна из ключевых идей линейной алгебры

Все остальные можно разложить в их композицию (я подробнее об этом скажу в следующем уроке)

Чтобы совсем не уплыть в алгебру (всё таки, тут мы больше про геометрию хотели), следующим будет видос с примерами преобразований

Обратите внимания, что все мною перечисленные свойства выполняются

Шаг 3

Шаг 4

Как и в случае замены базиса, записывать преобразования через обычную сумму для каждого базисного вектора не очень удобно:

\begin{aligned} A(e_1) = e_1*a^1_1 + \dots + e_n*a^n_1 \\ \vdots \\ A(e_n) = e_1*a^1_n + \dots + e_n*a^n_n \end{aligned}

Поэтому, для сокращения записи и удобности работы с некоторыми свойствами, матричная запись снова становится более удобной

$\mathcal A(x) = A\begin{pmatrix} x^1 \\ \vdots \\ x^n \end{pmatrix}$

Где $x^i$ - координаты вектора

Тут главное понять, что $\mathcal A(x)$ - это применение линейного преобразования, а $A$ - матрица из элементов $a^i_j$

По столбцам этой матрицы записаны новые координаты базисных векторов

$A = \begin{pmatrix} a^1_1 & a^1_2 & \cdots & a^1_n \\ a^2_1 & a^2_2 & \cdots & a^2_n & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a^n_1 & a^n_2 & \cdots & a^n_n \end{pmatrix}$

Сейчас будет повтор прошлого видео, но уже с написанными матрицами преобразований

Шаг 5

Шаг 6

Я упоминал классические примеры преобразований, так вот, примеры их матриц (это просто то, как можно их задавать, вариантов того же отражения полно):

Классические примеры линейных преобразований:

Поворот:

$R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

Отражение относительно прямой.

$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 &1 \end{pmatrix}$

В данном случае, это отражение, относительно прямой OY

**Растяжение

$\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ **

**Сдвиг

$\begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ **

Шаг 7

А если поменять базис, как выглядеть матрица преобразования?

Первая идея, которая приходит в голову - заменить базис обратно, сделать преобразование и снова заменить базис

Но как это записать в матричном виде?

Чтобы вернуть вектора обратно в обычный базис, нужно применить матрицу преобразования, то есть, $C$

(Как мы помним из прошлого урока не $C^{-1}$ , а просто $C$ , так как мы должны делать противоположные действия к замене базиса)

Применение преобразования - матрица $A$

Чтобы снова вектор перенести в новый базис, нужно применить матрицу $C^{-1}$

Вот и получается готовая формула:

$A' = C^{-1}AC$

Шаг 8

Всегда ли можно отменить преобразование?

Можно ли найти такое, которое вернёт всё назад

Нетрудно понять, что если мы уменьшили размерность, то вернуть назад особо не получится

Например, спроецировав трёхмерное пространство на двумерное (условно говоря, сделав фото) у нас явно не будет всей информации для того, чтобы вернуть всё назад

Оказывается, что это является единственным условием

Если преобразование невырожденно(переводит базис в базис), то у него есть обратное преобразование

Находить его легко, это просто обратная матрица

Если применить их подряд (в любой порядке), будет тождественное преобразование

$AA^{-1} = A^{-1}A = E$

Например:

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ - матрица какого-то преобразования

В этом базисе обратное преобразование будет иметь матрицу:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 0.5 & -0.5 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Шаг 9

Я думаю, читатель мог заметить немалую схожесть линейных преобразований и замены базиса

На самом деле, это не просто так и во многих ситуациях (например, при обычном растяжении) проще использовать замену базиса

Но, во первых, при замене базиса многие функции (например, расстояние или подсчёт углов) можно изменить так, чтобы они на новых координатах выдавали те же значения, что и на старых

А во вторых, очень часто преобразования используются для проецирования данных на подпространство (этому и будет посвящён следующий урок)

В третьих, как раз, чтобы не мучатся с переделкой функций, углов и всего такого, замену базиса делают чаще всего ортогональную (сохраняющую углы и расстояния) это, например, поворот

А вот преобразования делают специально такими, чтобы что-нибудь сжать или сдвинуть, убрав корреляцию

Про ортогональность будет тоже рассказано подробнее в будущих уроках

Шаг 10

Какая матрица соответствует такому преобразованию?

\begin{aligned} 1. \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \\ 2. \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \\ 3. \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ 4. \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \end{aligned}

Шаг 11

Какие свойства геометрического пространства обязательно сохраняются при любом линейном преобразовании (сжатии, повороте, сдвиге)?